一阶lc电路的仿真设计案例

谐振

当电路中存在感性元件（如电感）或者容性元件（电容）时，信号源（比如电流源）的频率变化会使得电路总体呈现容性、感性或者电阻性。当电路呈现电阻性时，就说该电路发生了谐振。最简单的谐振电路就是一阶lc谐振电路，只由一个电感、一个电容和信号源组成。

并联谐振电路

一阶并联型lc谐振电路如上面左图所示，其中的电阻r是电感的固有损耗，这个固有损耗值一般非常小（以至于理想状态下可以完全忽略），但是一般进行谐振分析时都把它考虑在内。通常将该网络等效变换到上面的右图形式。这个电路有以下几个重要参数：

1、谐振条件$\omega c = \frac{1}{\omega l}$，满足该条件的谐振角频率$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{l c}}$，谐振频率$f_0=\frac {\omega_0} {2 \pi} $；

1、等效电阻$r（\omega）=\frac{（\omega l）^2}{r}$；

2、发生谐振时，$r（\omega）$记为谐振电阻$r_0$，$r_0=\frac{（\omega_0 l）^2}{r}$；

3、品质因数$q_0=\frac{r_0}{\omega_0 l}=r_0 \omega_0 c$；

4、通频带$b_0.7=\frac{f_0}{q_0}$；

串联谐振电路

串联谐振电路的很多公式跟并联是相似的，有些特性与并联也是对应的。串联回路的分析要简单很多，可以很容易写出阻抗表达式。而且也不用进行等效变换，该电路的一些公式结论如下：

1、谐振条件为$\omega l = \frac{1}{\omega c}$，谐振角频率不变，仍然是$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{l c}}$，谐振频率$f_0=\frac {\omega_0} {2 \pi} $。

2、因为电阻r直接作为了阻抗的实部，因此谐振电阻$r_0=r$。

3、品质因数是并联的倒数，$q_0=\frac{\omega_0 l}{r_0}=\frac{1}{r_0 \omega_0 c}$。

4、通频带$b_0.7=\frac{f_0}{q_0}$；

谐振电路仿真

以并联电路为例，在pspice中连接好最基本的电路，电路参数在图中已经标明。根据第一节的结论公式和该并联电路器件参数，我们可以计算出电路的谐振角频率、谐振频率、谐振电阻、品质因素分别为：$\omega_0=25m rad/s$、$f_0 \approx 3.9789mhz$、$r_0=100 \omega$、$q_0=100$。

阻抗特性

上图是电路总阻抗的幅频（绿线）和相频（红线）特性曲线。先来看相频，当$f《3.9787mhz$时，相位角为正，说明电路呈感性；当$f》3.9787mhz$时，相位角为负，所以电路呈容性；而$f=3.9787mhz$时，电路呈电阻性，这说明此时电路谐振，实际测得的谐振频率$f_0=3.9787mhz$。这个频率值很接近我们计算所得的理论值。

我在仿真的时候，将每十倍频的采样点数故意设得非常高，也就是说结果的精确度等级几乎可以达到0.0001。之所以强调这一点，是希望读者注意到上面谐振频率的误差，即$0.0002mhz$，并非是由于软件仿真导致的，而是我们的理论值出错了。谐振角频率$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{l c}}$成立的前提条件是$\omega_0 l 》》 r$，也就是公式中其实忽略了小r的影响，而真正零误差的公式为$\omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{l c} -\frac{r^2}{l^2} }$，用该公式计算出来的谐振频率恰好就是图中的$3.9787mhz$。当然，实际中基本都忽略r的影响，因为性能好的电路中，其影响真的是微不足道啊。

对于相频曲线，还要关注的就是变化规律。如上图所示，可以看到在谐振频率附近，曲线的斜率非常大，变化得非常快。这说明，谐振点是个非常不稳定的点，很容易偏移到感性区域或者是容性区域，在实物电路的调节中相信这个问题会相当明显并且棘手。此外，我们刚讲过r对相频的影响，这个再次体现在了低频区域的相位上，大约在1mhz以下，相位就开始回零，最终趋于纯电阻性。其原因可以通过阻抗或者导纳公式推知，由于是低频段分析，因此过程中可将${（\omega l）}^2$忽略简化分析：

$y（j\omega） = j\omega c + \frac{1}{j\omega l + r}=\frac{r}{r^2 + （\omega l）^2}+j［\omega c - \frac{\omega l}{r^2 + （\omega l）^2}］ $

$when \; \omega l 《《 r ，y（j\omega） = \frac{1}{r}+j［\omega c - \frac{\omega l}{r^2}］$

$\theta （j\omega） = \arctan \omega （rc-\frac{l}{r}）$

再看第一张图中的幅频，曲线呈尖峰状。结合相频曲线，可知在电路谐振时（是忽略r时的谐振，而非电路实际真正的谐振），阻抗的幅值达到最大，为$100 \omega$。这里的$100 \omega$恰好就是谐振电阻$r_0$。

以上是并联电路的阻抗特性，在串联电路中，阻抗特性曲线如下图所示，刚好和并联相反。

选频特性和通频带

上图是回路电压的归一化曲线，可以表示为$\frac{u（j\omega）}{u_0}$，通过一定变换，可知它与$\frac{z（j\omega）}{r_0}$是等价的。直观地说，上图就是阻抗幅频曲线归一化后的样子，并且$\frac{u（j\omega）}{u_0}$的相频与阻抗相频特性是完全一样的。

这里，可以测得通频带大约为$39khz$，允许通过的频率范围就是$3.959mhz$到$3.999mhz$。结合理论公式，我们知道：通频带和选频特性是矛盾的，因为选频特性越好，要求品质因数要越大；如果通频带越大，则品质因数就要变小。所以，电路设计中要综合权衡这两个指标。

串联电路的选频特性曲线和并联的一样，也是呈尖峰状，只不过用于衡量选频能力的公式变为$\frac{i（j\omega）}{i_0}$。

谐振电路设计

并联电路

一阶lc谐振电路需要设计的参数无非就是电感l值和电容c值，而固有损耗通常都是客观决定的。l、c值的选择会影响电路的谐振频率、谐振电阻、品质因数等特性。以并联电路为例，下面讨论参数的选择问题。

首先，很明显的一点是，$l·c$的值越小，谐振频率越大；而且假设l、c各自减小到原来的一半，那么谐振频率只增大两倍，而不是四倍。

第二个是谐振电阻，将原来的公式进行变换可得$r_0=\frac{l}{c·r}$，由此可知l越大，c越小，那么谐振电阻就越大；而且如果l增大到原来的两倍，c减小到原来的一半，那么谐振频率仍然不变，但是谐振电阻却增大了四倍。

品质因数跟谐振电阻有很大关系，将公式进行变换可得$q_0=\sqrt{\frac{r_0}{r}}$，也就是说如果谐振电阻能够增大到4倍，那么品质因数可以增大到2倍。

并联回路的最大电压就是谐振时候的电压，该电压值$u_0=i_{sm}·r_0$，它的增大趋势和谐振电阻相同。

此外，我们必须要注意电感和电容的耐压耐流特性。在并联电路里，谐振时候流过电感和电容的电流幅值最大，并且满足$|i_{c0}|=|i_{l0}|=q_0|i_{sm}|$。其增大趋势是和品质因数相同。

串联电路

与并联一样，$l·c$的值越小，谐振频率越大；而且假设l、c各自减小到原来的一半，那么谐振频率增大两倍。

谐振电阻取决于固有损耗值。

品质因数$q_0=\sqrt{\frac{lc}{r^2}}$，l增大，c减小，可以增大品质因数。

串联回路的最大电流就是谐振时候的电流，该电流值$i_0=\frac{u_{sm}}{r_0}$，与谐振电阻呈反比。

在串联电路里，谐振时候电感和电容的分压最大，并且满足$|u_{c0}|=|u_{l0}|=q_0|u_{sm}|$。其增大趋势是和品质因数相同。

固有损耗对电路的影响

最后想要说明的一点就是固有损耗带来的影响。因为仿真软件里的模型一般都是理想的，也很难说固有损耗一般在哪个范围。我尝试了不同大小的固有损耗值，发现它对电路的影响还是比较有趣的。

关于固有损耗对谐振频率的影响，并联和串联电路表现得截然不同。串联电路的谐振频率丝毫不受干扰（上第一幅图），并联（上第二幅图）的在上文就已经提到过了。我们看到，固有损耗从$10m \omega$仅仅变到$900m \omega$，谐振频率就偏移了将近50%。解决这一问题的方法，就是一定范围内增大l，从而保证$\omega_0 l 》》 r$这一前提条件。例如，就之前的仿真电路，将电感l调整为$200nh$，电感调整为$8nf$，此时谐振频率仍然不变，但是对固有损耗的抵抗力显然增强，如下图所示（r的取值同上面）：

谐振电路最重要的特性除了谐振频率，还有就是选频特性或者说通频带。比较遗憾的是，同谐振频率一样，固有损耗对选频特性的影响也非常大。如下图所示，通频带的增大非常明显，与之相反，我们可以观察到波峰的位置偏移程度较小，也就是说电压中心频率对r是不太敏感的。该问题的解决方法与谐振频率一样。

除了谐振频率和选频特性，下面分析了其他特性的变化，这些变化的前提是$\omega_0 l 》》 r$。

谐振电阻方面，串联电路中谐振电阻就是固有损耗电阻，因此r越大，$r_0$也越大；并联电路中，$r_0=\frac{l}{c·r}$，所以$r_0$与r呈反比关系。

品质因数公式在串联和并联中互为倒数，但其实可以化成相同的形式：$q_0=\sqrt{\frac{r_0}{r}}$。因此，品质因数也与r呈反比关系。

带载lc谐振电路

以上的所有分析都是针对空载电路来说的，然而实际电路中，都是带载的情况，此时为了获得更好的选频能力，该如何选择l和c的值呢？